Question

设点M的柱坐标为(

2

，

5π

4

，

2

)，则它的球坐标为（　　）

• A．(2，

  π

  4

  ，

  π

  4

  )
• B．(2，

  π

  4

  ，

  5π

  4

  )
• C．(2，

  5π

  4

  ，

  π

  4

  )
• D．(2，

  3π

  4

  ，

  π

  4

  )

Answer 1

分析：柱面坐标（ρ，θ，Z）转化为直角坐标（x，y，z）时的变换公式为

x=ρcosθ  y=ρsinθ z=z

，套用此公式求出M直角坐标，再直角坐标系（x，y，z）与球坐标系（r，θ，φ）的转换关系为：r=

x2+y2+z2

； φ=arctan（

y

x

）； θ=arccos（

z

r

），进行转换即得它的球坐标．

解答：解：∵M点的柱面坐标为M(

2

，

5π

4

，

2

)，设点M的直角坐标为（x，y，z），
∴

x= 2 cos 5π 4   y= 2 sin 5π 4 z= 2

即

x=-1 y=-1 z= 2

．
∴M点的直角坐标为：M（-1，-1，

2

）．
设点M的球面坐标系的形式为（r，φ，θ），r是球面半径，φ为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角，θ为向量OM与z轴正方向夹角，
所以r=

(-1)2+(-1)2+( 2 )2

=2，容易知道φ=135°=

3π

4

，同时结合点M的直角坐标为（-1，-1，

2

），
可知 cosθ=

z

r

=

2

2

，所以 θ=

π

4

，
所以球面坐标为（2，

3π

4

，

π

4

）
故选D．

点评：本题考查了柱坐标系与球坐标系及柱坐标的意义，会将柱坐标球坐标与直角坐标的互换．