Question

已知函数f（x）=asinxcosx+

3

acos²x-

3

2

a+1（a＞0）的定义域为R，当-

7π

12

≤x≤-

π

12

时，f（x）的最大值为2
（1）求a的值
（2）用五点法作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的图象
（3）写出该函数的单调递增区间及对称中心的坐标．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式把函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+h的形式，利用正弦函数的性质求出最大值，又因为已知函数的最大值为2，就可求出参数a的值．
（2）利用“五点法”作图，令2x+

π

3

分别取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，求出对应的x与y的值，就可得到函数在一个周期内的五个关键点的坐标，画出见图．
（3）令2x+

π

3

属于正弦函数的增区间，解出x的范围即为函数f（x）的单调增区间．
令2x+

π

3

=kπ，k∈Z，解得x的值为函数对称中心的横坐标，因为函数f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的图象是函数y=2sin(2x+

π

3

)的图象向上平移一个单位长度得到的，所以函数f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的对称中心的纵坐标为1．就可得到函数f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的对称中心．

解答：解：（1）f（x）=asinxcosx+

3

acos²x-

3

2

a+1
=

asin2x

2

+

3 a(cos2x+1)

2

-

3 a

2

+1
=

asin2x

2

+

3 acos2x

2

+1
=a（sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

）+1
=asin（2x+

π

3

）+1
当-

7π

12

≤x≤-

π

12

，则-

5π

6

≤2x+

π

3

≤

π

6

∴当2x+

π

3

=

π

6

，f（x）有最大值为

a

2

+1，
又∵f（x）的最大值为2，∴

a

2

+1=2，
解得：a=2．
（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1
令2x+

π

3

分别取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，则对应的x与y的值如下表

x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
y	1	3	-1	1	3

画出函数在区间[-

π

6

，

5π

6

]的图象如下图

（2）f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
解得，-

5

12

π+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈z
∴函数的增区间为[-

5

12

π+kπ，

π

12

+kπ]，k∈z．
令2x+

π

3

=kπ，k∈Z，解得x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
∴函数f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的对称中心的横坐标为

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
又∵函数f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的图象是函数y=2sin(2x+

π

3

)的图象向上平移一个单位长度得到的，
∴函数f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的对称中心的纵坐标为1．
∴对称中心坐标为（

kπ

2

-

π

6

，1）k∈Z

点评：本题主要考查应用三角函数的公式把三角函数化简为y=Asin（ωx+φ）+h的形式，再求图象与性质，属于三角函数的综合题．