定义:对于集合A={a1.a2.a3.-an}.“a1•a2•a3-an 称为集合A的“元素积 ,“a1+a2+a3+-+an 称为集合A的“元素和．特别地.A={a1}的元素积为a1,A={a1}的元素和为a1．若A={1.-1.3.4}.记集合A的所有非空子集的元素积的和为M.集合A的所有非空子集的元素和的和为N� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．定义：对于集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}，“a₁•a₂•a₃…a_n”称为集合A的“元素积”；“a₁+a₂+a₃+…+a_n”称为集合A的“元素和”．特别地，A={a₁}的元素积为a₁；A={a₁}的元素和为a₁．若A={1，-1，3，4}，记集合A的所有非空子集的元素积的和为M，集合A的所有非空子集的元素和的和为N．则M+N=55．

分析根据题意，列举集合A的所有非空子集，依次求出每个子集的元素积与元素和，即可得M、N的值，将其相加即可得答案．

解答解：根据题意，A={1，-1，3，4}，其非空子集有2⁴-1=15个，设P为A的一个非空子集，
当P={1}时，其元素积为1，元素和为1；
当P={-1}时，其元素积为-1，元素和为-1；
当P={3}时，其元素积为3，元素和为3；
当P={4}时，其元素积为4，元素和为4；
当P={1，-1}时，其元素积为-1，元素和为0；
当P={1，3}时，其元素积为3，元素和为4；
当P={1，4}时，其元素积为4，元素和为5；
当P={-1，3}时，其元素积为-3，元素和为2；
当P={-1，4}时，其元素积为-4，元素和为3；
当P={3，4}时，其元素积为12，元素和为7；
当P={1，-1，3}时，其元素积为-3，元素和为3；
当P={1，-1，4}时，其元素积为-4，元素和为4；
当P={1，3，4}时，其元素积为12，元素和为8；
当P={-1，3，4}时，其元素积为-12，元素和为6；
当P={1，-1，3，4}时，其元素积为-12，元素和为7；
则集合A的所有非空子集的元素积的和为M，
M=1+（-1）+3+4+（-1）+3+4+（-3）+4+（-3）+（-4）+12+（-12）+（-12）+（-12）=-1；
集合A的所有非空子集的元素和的和为N，则N=1+（-1）+3+4+0+4+5+2+3+7+3+4+8+6+7=56，
则M+N=55；
故答案为：55．

点评本题考查数列的求和，涉及集合的子集与真子集的概念，关键是理解集合的“元素积”与“元素积”的概念．

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