题目内容

已知数列{a_n}满足：a₁=2t-3（t∈R且t≠±1）， $数学公式$ （n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若t＞0，试比较a_n+1与a_n的大小．

解：（1）由原式变形得 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ①，当n=1时， $\text{[math]}$ ．
又由①取倒数得 $\text{[math]}$ ，即数列{ $\text{[math]}$ }为首项公差均为 $\text{[math]}$ 的等差数列，
从而有 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
所以数列{a_n}的通项公式为： $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）可知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =
$\text{[math]}$ ，
显然在t＞0（t≠1）时恒有a_n+1-a_n＞0，
故a_n+1＞a_n．
分析：（1）由题意变形可得 $\text{[math]}$ 记 $\text{[math]}$ 可得即数列{ $\text{[math]}$ }为首项公差均为 $\text{[math]}$ 的等差数列，通过求其通项进而求{a_n}的通项；
（2）由（1）的结论利用作差法可比较a_n+1与a_n的大小．
点评：本题为由数列的递推公式求数列的通项公式，准确变形利用倒数法构造等差数列是解决问题的关键，属难题．