Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，E，F分别为PC，BD的中点．证明
（1）EF∥平面PAD；
（2）EF⊥平面PDC．

Answer 1

【答案】分析：（1）若证明EF∥平面PAD，关键是要找到平面PAD内一条可能与EF平行的直线，分别图形后发现PA即为所求，故连接AC后，利用中位线的性质，即可临到结论．
（2）若证明EF⊥平面PDC，我们要证明EF与平面PDC中两条相交直线均垂直，已知中底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，结合（1）中结论，易证明出：CD⊥PA且PA⊥PD，根据线面垂直的判定定理即可得到结论．
解答：证明：（1）连接AC，在△CPA中，因为E，F分别为PC，BD的中点，
所以EF∥PA．而PA?平面PAD，EF?平面PAD，
所以直线EF∥平面PAD．
（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，且CD⊥AD，
所以CD⊥PA．又因为PA⊥PD，且CD，PD?平面PDC，
所以PA⊥平面PDC．而EF∥PA，所以EF⊥平面PDC．
点评：本题考查的知识眯是直线与平面平等的判定及直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面关系的判定定理是解答此类问题的关键．