Question

已知数列﹛a_n﹜满足：

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=

5

24

(52n-1)，n∈N*．
（Ⅰ）求数列﹛a_n﹜的通项公式；
（ II）设bn=log5

an

n

，求

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n=1时，代入已知可求a₁=

1

5

，当n≥2时由n的任意性可得

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

=

5

24

(52n-2-1)，与已知中的式子相减可求通项；
（ II）由（Ⅰ）可得b_n=1-2n，代入可得

1

bnbn+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，下由裂项相消法可解．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，可得

1

a1

=5，故a₁=

1

5

当n≥2时，由

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=

5

24

(52n-1)①可得

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

=

5

24

(52n-2-1)②
①-②得

n

an

=52n-1，所以an=

n

52n-1

，经验证n=1时也符合，
所以数列﹛a_n﹜的通项公式为：an=

n

52n-1

（ II）bn=log5

1

52n-1

=1-2n，所以b_n+1=-1-2n，
所以

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
因此

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

点评：本题考查数列的通项公式的求解和裂项相消法求和，构造式子相减求出数列的通项公式是解决问题的关键，属中档题．