Question

10．（1）已知$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，求sin2α的值
（2）已知$\frac{π}{2}$＜α＜π，0＜β＜$\frac{π}{2}$，tanα=-$\frac{3}{4}$，cos（β-α）=$\frac{5}{13}$，求sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）由α-β的余弦值和α、β角的范围求出α-β的正弦值，由α+β的正弦值和范围，求出α+β的余弦值，要求的结论2α的正弦值，把2α变化为（α-β）+（α+β）的正弦值求解即可．
（2）由tanα和α角的范围求出α的正弦值和余弦值，由α、β角的范围求出β-α的正弦值和余弦值，把β变化为（β-α）+α的正弦值求解即可．

解答 解：（1）∵$cos（α-β）=\frac{12}{13}＞0$，$\frac{π}{2}＜β＜α＜\frac{3π}{4}$
∴$0＜α-β＜\frac{π}{4}$．
∴$sin（α-β）=\frac{5}{13}$．
∴$π＜α+β＜\frac{3π}{2}$．
又$sin（α+β）=-\frac{3}{5}$，∴$cos（α+β）=-\frac{4}{5}$．
∴sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）
=$-\frac{3}{5}×\frac{12}{13}-\frac{4}{5}×\frac{5}{13}=-\frac{56}{65}$．
（2）∵$\frac{π}{2}＜α＜π$且tanα=-$\frac{3}{4}$，∴$sinα=\frac{3}{5}，cosα=-\frac{4}{5}$．
∵$\frac{π}{2}＜α＜π，0＜β＜\frac{π}{2}$，∴$-π＜-α＜-\frac{π}{2}$，-π＜β-α＜0．
又∵$cos（{β-α}）=\frac{5}{13}$，∴$sin（{β-α}）=-\frac{12}{13}$．
∴sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα
=$-\frac{12}{13}×（{-\frac{4}{5}}）+\frac{5}{13}×\frac{3}{5}=\frac{63}{65}$．

点评 本题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值，角的变换是解题的关键，属于中档题．