Question

直线l过点M（1，1），与椭圆+=1交于P，Q两点，已知线段PQ的中点横坐标为，求直线l的方程．

 

Answer 1

即y=（1+）（x﹣1）+1或y=（1﹣）（x﹣1）+1．

【解析】

试题分析：平方差法：易判断直线存在斜率，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（，y0），把P、Q坐标代入椭圆方程两式相减，利用斜率公式及中点坐标公式可用y0表示出直线斜率，再用M点坐标及中点的坐标可表示出斜率，从而得到关于y0的方程，解出y0后即可求得斜率，用点斜式即可求得直线方程．

【解析】
易知直线l存在斜率，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（，y0），则x1+x2=1，y1+y2=2y0，

把P、Q坐标代入椭圆方程，得①，，

①﹣②得，，即=﹣=﹣，

又=，

所以=﹣，解得，，

则直线斜率k=﹣=1±，

所以直线l方程为：y﹣1=（1+）（x﹣1）或y﹣1=（1﹣）（x﹣1），即y=（1+）（x﹣1）+1或y=（1﹣）（x﹣1）+1．