Question

10．已知sinαcosβ=1，则cos（α+β）的值是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． -1
• D． ±1

Answer 1

分析 根据正弦函数和余弦函数的值域得到sinα和cosβ都小于等于1，又sinαcosβ=1，得到sinα和cosβ的值都只能为±1，即可得到α和β的度数，进而得到α+β的度数，即可求出cos（α+β）的值．

解答 解：∵sinα≤1，cosβ≤1，sinαcosβ=1，
∴sinα=1，cosβ=1，或sinα=-1，cosβ=-1，
∴α=2kπ+$\frac{π}{2}$，β=2kπ，或α=2kπ+$\frac{3π}{2}$，β=2kπ+π，k∈Z，
∴α+β=4kπ+$\frac{π}{2}$，或α+β=4kπ+$\frac{5π}{2}$，k∈Z，
则cos（α+β）=cos（4kπ+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{π}{2}$=0．或cos（α+β）=cos（4kπ+$\frac{5π}{2}$）=cos$\frac{π}{2}$=0，
故选：A．

点评 此题考查学生掌握正弦函数的图象与性质及值域，灵活运用特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．