题目内容
已知抛物线y2=2x，设点A（a，0）（a＞0），求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应距离|PA|．
考点：两点间的距离公式
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设抛物线上y2=2x上的点P（m，n），利用两点间的距离公式可求得|PA|2=（m-a）2+n2=[m+（1-a）]2+2a-1，结合二次函数的图象和性质，分当0＜a＜1和a≥1两种情况可得满足条件的点P的坐标及相应距离|PA|．
解答：
解：设抛物线上y2=2x上的点P（m，n）（m≥0），
则|PA|2=（m-a）2+n2=m2-2am+a2+2m=m2-2（a-1）m+a2=[m+（1-a）]2+2a-1，
∴当0＜a＜1，即1-a＜0时，
由m≥0得：当m=0，|PA|2达到最小值a2，此时点P的坐标为（0，0），
当a≥1，即1-a≥0时，
当m=a-1，|PA|2达到最小值2a-1，此时点P的坐标为P（1-a，±
）．
则|PA|2=（m-a）2+n2=m2-2am+a2+2m=m2-2（a-1）m+a2=[m+（1-a）]2+2a-1，
∴当0＜a＜1，即1-a＜0时，
由m≥0得：当m=0，|PA|2达到最小值a2，此时点P的坐标为（0，0），
当a≥1，即1-a≥0时，
当m=a-1，|PA|2达到最小值2a-1，此时点P的坐标为P（1-a，±
| 2-2a |
点评：本题考查抛物线的简单性质，考查点到直线间的距离公式与两点间的距离公式，属于中档题．
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