Question

已知函数（x≠-a，a、b是常数，且ab≠-5），对定义域内任意x（x≠-a、x≠-a-3且x≠a+3），恒有f（3+x）+f（3-x）=4成立．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出函数的定义域；
（2）求x的取值范围，使得f（x）∈[0，2）∪（2，4]．

Answer 1

解：（1）∵，
∴，即
对使等式有意义的任意x恒成立．（4分）
∴．（6分）
于是，所求函数为，
定义域为（-∞，3）∪（3，+∞）．（8分）
（2）∵，f（x）∈[0，2）∪（2，4]，
∴0≤f（x）＜2或2＜f（x）≤4，
即．（10分）
解不等式；
解不等式．（14分）
∴当时，f（x）∈[0，2）∪（2，4]．（16分）
分析：（1）用待定系数法求函数的解析式，可以根据函数赋值的概念和分式的整理，来解决．
（2）用定义域的概念，或者函数的单调性来求解，也可以根据反函数的概念来解决本题．
点评：（1）本题综合考查函数解析式的求法，除了分式的整理还需要掌握函数的基本知识．
（2）本题考查了函数定义域和值域的运用，同时考查了不等式的计算，一定要从函数的基本性质入手．