Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A₁A=AB=2，E为BB₁延长线上的一点，D₁E⊥面D₁AC．
（1）若H是BB₁的中点，证明：DH∥D₁E；
（2）求三棱锥A-CDE的体积；
（3）求二面角E-AC-D₁的大小．

Answer 1

分析：（1）证明DH⊥面D₁AC，利用D₁E⊥面D₁AC，可得DH∥D₁E；
（2）证明四边形DD₁HE是平行四边形，棱锥A-CDE的体积等于三棱锥B-CDE的体积，等于三棱锥D-BCE的体积，即可求得结论；
（3）建立直角坐标系，确定E的坐标，求出平面EAC的法向量

m

=(0，3，-1)，平面D₁AC的法向量为

D1E

=（0，2，1），利用向量的夹角公式，可求二面角E-AC-D₁的大小．

解答：（1）证明：连接BD交AC于O，

在矩形BDD₁B₁中，O是BD的中点，H是BB₁的中点
∴

△DD1O≌△BDH

，∴∠HDB=∠DD₁O，∴DH⊥D1O，
∵AC⊥平面BDD₁B₁，DH?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥DH
∵AC∩D₁O=O
∴DH⊥面D₁AC，
又∵D₁E⊥面D₁AC，∴DH∥D₁E；
（2）解：由（1）知DH∥D₁E，
∵DD₁∥EH，∴四边形DD₁HE是平行四边形
∴EH=DD₁=2，∴BE=3
∵AB∥CD，∴三棱锥A-CDE的体积等于三棱锥B-CDE的体积，等于三棱锥D-BCE的体积
∵∠BAD=60°，AB=2，∴D到平面BC₁的距离为

3

∴D-BCE的体积等于

1

3

×

1

2

×2×3×

3

=

3

∴三棱锥A-CDE的体积等于

3

；
（3）解：建立如图所示的直角坐标系，则A(

3

，0，0)，B（0，1，0），C（-

3

，0，0），D（0，-1，0），D₁（0，-1，2）
设E（0，1，2+h），则

D1E

=(0，2，h)，

CA

=(2

3

，0，0)，

D1A

=(

3

，1，-2)
∵D₁E⊥面D₁AC，∴D₁E⊥AC，D₁E⊥D₁A
∴2-2h=0，∴h=1，即E（0，1，3）
∴

D1E

=(0，2，1)，

AE

=(-

3

，1，3)
设平面EAC的法向量为

m

=(x，y，z)
由

m ⊥ CA m ⊥ AE

，可得

x=0 - 3 x+y+3z=0

，令z=-1，则

m

=(0，3，-1)
∵平面D₁AC的法向量为

D1E

=（0，2，1）
∴cos＜

m

，

D1E

＞=

m • D1E

| m || D1E |

=

6-1

10 × 5

=

2

2

∴二面角E-AC-D₁的大小为45°．

点评：本题考查线面垂直，考查线线平行，考查三棱锥体积的计算，考查面面角，考查利用向量法解决空间角问题，确定平面的法向量是关键．