题目内容

已知f(x)=(

x

+

2

)2 (x≥0)，又数列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，且其前n项和S_n（n∈N）对所有大于1的自然数n都有S_n=f（S_n-1），求通项公式a_n，并写出推导过程．

分析：由f（x）=x+2

2x

+2，S_n=f（S_n-1）S_n=S_n-1+2

2Sn-1

+2a_n-2=2

2Sn-1

，知8S_n=8S_n-1+8a_n=a_n²+4a_n+4=（（a_n+2）²，8S_n-1=（a_n-1+2）²．由此能推导出a_n=4n-2．

解答：解：∵f(x)=(

x

+

2

)2 (x≥0)
=x+2

2x

+2，
∵S_n=f（S_n-1）S_n=S_n-1+2

2Sn-1

+2a_n-2
=2

2Sn-1

8S_n-1=（a_n-2）²
=a_n²-4a_n+4
8S_n=8S_n-1+8a_n=a_n²+4a_n+4=（（a_n+2）²，
8S_n-1=（a_n-1+2）²．
∴（a_n-2）²=（a_n-1+2）²，
因为a_n＞0，
所以a_n-2=a_n-1+2a_n-a_n-1=4，
即公差为4的等差数列，
∴a_n=4n-2．

点评：本题考查数列与函数的综合应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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-3， x∈[1，2]
（1） b=2时，求f（x）的值域；
（2） b≥2时，f（x）的最大值为M，最小值为m，且满足：M-m≥4，求b的取值范围．

已知f(x)=sin(x+

)，g(x)=cos(x-

)，则下列结论中正确的是（　　）

A、函数y=f（x）•g（x）的最大值为1

B、函数y=f（x）•g（x）的对称中心是(

]时，函数y=f（x）•g（x）单调递增

D、将f（x）的图象向右平移

单位后得g（x）的图象

x+1，x∈[-1，0)

x2+1，x∈[0，1]

，则下列函数的图象错误的是（　　）

f（x-1）的图象

f（-x）的图象

f（|x|）的图象

|f（x）|的图象

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若 $数学公式$ ，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间 $数学公式$ 上的值域为 $数学公式$ ，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若

，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间

上的值域为

，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．