Question

13．设F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0（O为坐标原点），且|PF₁|=$\sqrt{2}$|PF₂|，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+2}{2}$
• B． $\sqrt{3}$+2
• C． $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 利用向量的数量积的性质可得|OP|=|OF₂|=c=|OF₁|，可得PF₁⊥PF₂，运用双曲线的定义和已知条件，可得|PF₂|=2（$\sqrt{2}$+1）a，|PF₁|=2$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+1）a，再由勾股定理和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0，
可得$\overrightarrow{OP}$²-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$²=0，
即有|OP|=|OF₂|=c=|OF₁|，
可得PF₁⊥PF₂，
Rt△PF₁F₂中，|PF₁|=$\sqrt{2}$|PF₂|，
由双曲线的定义得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即有|PF₂|=2（$\sqrt{2}$+1）a，|PF₁|=2$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+1）a，
由勾股定理可得|PF₂|²+|PF₁|²=|F₁F₂|²，
即4c²=4（3+2$\sqrt{2}$）a²+8（3+2$\sqrt{2}$）a²，
化简可得c²=（9+6$\sqrt{2}$）a²，
由离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用，其中判断△PF₁F₂是直角三角形是解题的关键．