Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：
（Ⅰ）直线EF∥平面PCD；
（Ⅱ）平面BEF⊥平面PAD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得EF∥PD，由此能证明直线EF∥平面PCD．
（Ⅱ）连结DB，则△ABD为正三角形，BF⊥AD，从而BF⊥平面PAD，由此能证明平面BEF⊥平面PAD．

解答 证明：（Ⅰ）在△PAD中，∵，E、F分别是AP、AD的中点，
∴EF∥PD，
又∵EF?平面PCD，PD?平面PCD，
∴直线EF∥平面PCD．
（Ⅱ）连结DB，∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD为正三角形，
∵F是AD的中点，∴BF⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BF⊥平面PAD，
又∵BF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．