Question

19．己知l₁，l₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线，且右焦点关于l₁的对称点l₂在上，则双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 设出对称点的坐标，根据中点坐标公式和斜率公式即可求出a与b的关系，再根据离心率公式即可求出．

解答 解：l₁，l₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线，
不妨设l₁，为y=$\frac{b}{a}$x，l₂为y=-$\frac{b}{a}$x，
∵右焦点关于l₁的对称点l₂在上
设右焦点关于l₁的对称点为P（m，-$\frac{bm}{a}$），右焦点F₁坐标为（c，0），
∴PF₁中点坐标为（$\frac{m+c}{2}$，-$\frac{bm}{2a}$），
∴-$\frac{bm}{2a}$=$\frac{m+c}{2}$$•\frac{b}{a}$，
∴m=-$\frac{1}{2}$c，
∴P（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{bc}{2a}$），
∴${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{\frac{bc}{2a}}{-\frac{1}{2}c-c}$=-$\frac{b}{3a}$，
∴-$\frac{b}{3a}$•$\frac{b}{a}$=-1，
∴b²=3a²，
∴c²=a²+b²=4a²，
∴c=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=2，
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的方程离心率渐近线方程，以及点的对称问题，属于中档题．