Question

1．如图，已知⊙A和⊙B的公共弦CD与AB相交于点E，CB与⊙A相切，⊙B半径为2，AE=3．
（Ⅰ）求弦CD的长；
（Ⅱ）⊙B与线段AB相交于点F，延长CF与⊙A相交于点G，求CG的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结CA，由圆的切线的性质、对称性，根据射影定理求出BE，再根据勾股定理，继而得出弦CD的长；
（Ⅱ）在△CEF中，求出EF，CF的长，根据勾股定理求出AC，设⊙A与直线AB相交于M，N两点，分别求出AF，MF，NF，根据相交弦定理求得CF•FG，得出FG，继而求得CG的值．

解答 解：（Ⅰ）证明：连结CA，则CA⊥CB，
∵由圆的对称性知CD⊥AB，
∴由射影定理得：BC²=BE•BA=BE•（BE+EA），
∴2²=BE•（BE+3），∴BE=1；     
∴在 Rt△BEC中，$CE=\sqrt{B{C^2}-B{E^2}}=\sqrt{3}$，
∴$CD=2\sqrt{3}$．                    
（Ⅱ）在△CEF中，$CE=\sqrt{3}$，EF=BF-BE=1，
∴CF=2，
在△ACE中，$AC=\sqrt{E{C^2}+A{E^2}}=2\sqrt{3}$．              
设⊙A与直线AB相交于M，N两点，
AF=AE-EF=3-1=2，$MF=2\sqrt{3}+2，NF=2\sqrt{3}-2$，
∵由相交弦定理得CF•FG=FM•NF=（2$\sqrt{3}$+2）•（2$\sqrt{3}$-2）=8，
∴FG=4，
∴CG=4+2=6．

点评 本小题主要考查射影定理、相交弦定理、圆的切线的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，属于中档题．