Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，E是SA的中点．
（1）求证：平面BED平面SAB；
（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．

Answer 1

解：（1）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．
∵SD=AD，E是SA的中点，
∴DE⊥SA， ∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB
∴平面BED⊥平面SAB．
（2）法一：作AF⊥BE，垂足为F．
由（Ⅰ），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，
则∠AEF是直线SA与平面BED所成的角
设AD=2A，则AB=A，SA=2A，AE=A，
△ABE是等腰直角三角形，则AF=A．在Rt△AFE中，sin∠AEF=，
故直线SA与平面BED所成角的大小45°
法二：分别以DA,DC,DS为坐标轴建立坐标系D—xyz，
不妨设AD=2，则 D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，，0）， C（0，，0），
S（0，0，2），E（1，0，1）．
=（2，，0），=（1，0，1），=（2，0，0），=（0，-，2）．
设m=（x₁，y₁，z₁）是面BED的一个法向量，
则 即
因此可取m=（-1，，1）．
又=（2,0，-2），设直线SA与平面BED所成的角为θ，则
即直线SA 与平面BED 所成的角为