Question

已知动圆过定点，且与直线 相切．

（1）求动圆的圆心M的轨迹C的方程；

（2）抛物线C上一点，是否存在直线与轨迹C相交于两不同的点B，C，使 的垂心为？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以动圆的圆心M的轨迹C的方程为；                 4分

（Ⅱ）由已知得，直线的斜率为，由直线的斜率为1，

设直线的方程是，由，消去得，

由韦达定理得，由，得

由，得，

即，

所以，

即，得，

解得或，当时，直线的方程是，过点，不合，

所以存在这样的直线，其方程是．                  10分

考点：抛物线定义及抛物线与直线相交的位置关系

点评：抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，依据圆锥曲线定义求解动点的轨迹方程是常用的求轨迹方程的方法，当已知中有直线与圆锥曲线相交时，常联立方程，利用韦达定理化简条件求结论