Question

已知等差数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和为S_n，且a₃=5，S₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设等比数列{b_n}（n∈N^*），若b₂=a₂．b₃=a₅，求数列{b_n}的前n项和T_n
（3）设bn=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，得到关于首项a₁与公差d的方程组，解之即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知a_n=2n-1，从而可求得b₂=9及其公比q，于是可得数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）利用裂项法可求得b_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），从而可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）依题意得：

a3=a1+2d=5 s3=3a1+ 3×2 2 d=9

解得

a1=1 d=2

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；
（2）∵b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴公比q=3，
∴b₁=1，
∴T_n=

b1(1-qn)

1-q

=

1×(1-3n)

1-3

=

1

2

（3ⁿ-1）；
（3）由（1）知，a_n=2n-1．
∴b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，突出裂项法求和的考查，属于中档题．