题目内容
不等式ex-x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P，则实数a的取值范围是
（-∞，e-1）
（-∞，e-1）
．分析：由题意可得，对任意x∈[0，2]，ex-x＞ax恒成立，分类讨论当x=0时，不等式成立，当0＜x≤2时，可得a＜
-1恒成立，利用导数可求g（x）=
-1在（0，2]上的最小值，从而可求a的范围
| ex |
| x |
| ex |
| x |
解答：解：因为ex-x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P，
所以对任意x∈[0，2]，ex-x＞ax恒成立，
当x=0时，不等式成立，
当0＜x≤2时，可得a＜
-1恒成立．
令g（x）=
-1，则g′（x）=
，
当1＜x≤2时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0．
所以当x=1时，g（x）取得最小值e-1，所以a的取值范围是（-∞，e-1）．
所以对任意x∈[0，2]，ex-x＞ax恒成立，
当x=0时，不等式成立，
当0＜x≤2时，可得a＜
| ex |
| x |
令g（x）=
| ex |
| x |
| (x-1)ex |
| x2 |
当1＜x≤2时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0．
所以当x=1时，g（x）取得最小值e-1，所以a的取值范围是（-∞，e-1）．
点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，求解函数的最值，函数恒成立与函数最值求解的相互转化
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寒假乐园北京教育出版社系列答案
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