Question

6．函数f（x）=log₂$\sqrt{x}•{log_{\sqrt{2}}}$（2x）+$\frac{1}{4}$最小值0．

Answer 1

分析 求函数的定义域，再对函数进行化简，得到f（x）=（log₂x+$\frac{1}{2}$）²，即可得到所求值．

解答 解：由条件可知函数的定义域为（0，+∞），
由于函数f（x）=log₂$\sqrt{x}$•log${\;}_{\sqrt{2}}$（2x）+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$log₂x•$\frac{1}{\frac{1}{2}}$（log₂2+log₂x）+$\frac{1}{4}$
=（log₂x）²+log₂x+$\frac{1}{4}$=（log₂x+$\frac{1}{2}$）²$-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$=（log₂x+$\frac{1}{2}$）²，
则当log₂x+$\frac{1}{2}$=0，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）有最小值为0．

点评 本题考查函数的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则的合理运用．