Question

16．已知函数f（x）=e^x+ln（x+1）-ax，a∈R．
（1）g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的零点个数；
（2）当x≥0时，不等式e^x+（x+1）ln（x+1）≥$\frac{1}{2}$ax²+ax+1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先对原函数求导，从而判断单调性，再分类讨论即可得到g（x）的零点个数，
（2）设h（x）=e^x+（x+1）ln（x+1），求h（x）的最最值，再转化为a≤$\frac{2}{{x}^{2}+2x}$在[0，+∞）上恒成立，求其最值，即可使其小于或等于零构造不等式即可．

解答 解：（1）g（x）=f′（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，x＞-1
∴g′（x）=e^x-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$，g′（0）=0，
且当x∈（-1，0）时，e^x＜1，$\frac{1}{1+x}$＞1，∴g′（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，e^x＞1，0＜$\frac{1}{1+x}$＜1，∴g′（x）＞0；
于是g（x）在（-1，0）递减，在（0，+∞）递增，故g（x）_min=g（0）=2-a．
∴①当a＜2时，
∵g（x）_min=g（0）=2-a＞0，
∴g（x）无零点；
②当a=2时，g（x）_min=g（0）=2-a=0，g（x）有唯一零点x=0；
③当a＞2时，g（x）_min=g（0）=2-a＜0，
取x₁=$\frac{1}{a}$-1∈（-1，0），x₂=lna＞0，则g（x₁）=${e}^{\frac{1}{a}-1}$＞0，g（x₂）=$\frac{1}{1+lna}$＞0，
于是g（x）在（x₁，0）和（0，x₂）内各有一个零点，从而有两个零点，
（2）由当x≥0时，不等式e^x+（x+1）ln（x+1）≥$\frac{1}{2}$ax²+ax+1恒成立，
设h（x）=e^x+（x+1）ln（x+1），
∴h′（x）=e^x+ln（x+1）+1≥1，
∴h（x）在[0，+∞）单调递增，
∴h（x）_min=h（0）=1+1=2，
∴2≥$\frac{1}{2}$ax²+ax+1在[0，+∞）上恒成立，
即a≤$\frac{2}{{x}^{2}+2x}$在[0，+∞）上恒成立，
∵y=$\frac{2}{{x}^{2}+2x}$在[0，+∞）上为减函数，
∴a≤0，
故a的取值范围为（-∞，0]．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值的思路；关于不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值来解．