Question

某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．
（1）已知“1 类波”中的两个波f₁（x）=sin（x+φ₁）与f₂（x）=sin（x+φ₂）叠加后仍是“1类波”，求φ₂-φ₁的值；
（2）在“A 类波“中有一个是f₁（x）=Asinx，从 A类波中再找出两个不同的波f₂（x），f₃（x），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后f₁（x）+f₂（x）+f₃（x），并说明理由．
（3）在n（n∈N，n≥2）个“A类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,归纳推理

专题：综合题,三角函数的图像与性质,推理和证明

分析：（1）根据定义可求得f₁（x）+f₂（x）=（cosφ₁+cosφ₂）sinx+（sinφ₁+sinφ₂）cosx，则振幅是

(cosφ1+cosφ2)2+(sinφ1+sinφ2)2

=

2+2cos(φ1-φ2)

，由

2+2cos(φ1-φ2)

=1，即可求得φ₁-φ₁的值．
（2）设f₂（x）=Asin（x+φ₁），f₃（x）=Asin（x+φ₂），则f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）=0恒成立，可解得cosφ₁=-

1

2

，可取φ₂=

4π

3

（或φ₂=-

2π

3

等），证明f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）=0．
（3）由题意可得f₁（x）=Asinx，f₂（x）=Asin（x+

2π

n

），f₃（x）=Asin（x+

4π

n

），…，从而可求f_n（x）=Asin（x+

2(n-1π)

n

），这n个波叠加后是平波．

解答： 解：（1）f₁（x）+f₂（x）=sin（x+φ₁）+sin（x+φ₂）
=（cosφ₁+cosφ₂）sinx+（sinφ₁+sinφ₂）cosx，
振幅是

(cosφ1+cosφ2)2+(sinφ1+sinφ2)2

=

2+2cos(φ1-φ2)

则

2+2cos(φ1-φ2)

=1，即cos（φ₁-φ₂）=-

1

2

，所以φ₁-φ₂=2kπ±

2π

3

，k∈Z．
（2）设f₂（x）=Asin（x+φ₁），f₃（x）=Asin（x+φ₂），
则f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）=Asinx+Asin（x+φ₁）+Asin（x+φ₂）
=Asinx（1+cosφ₁+cosφ₂）+Acosx（sinφ₁+sinφ₂）=0恒成立，
则1+cosφ₁+cosφ₂=0且sinφ₁+sinφ₂=0，
即有：cosφ₂=-cosφ₁-1且sinφ₂=-sinφ₁，
消去φ₂可解得cosφ₁=-

1

2

，
若取φ₁=

2π

3

，可取φ₂=

4π

3

（或φ₂=-

2π

3

等），
此时，f₂（x）=Asin（x+

2π

3

），f₃（x）=Asin（x+

4π

3

）（或f₃（x）=Asin（x-

2π

3

）等），
则：f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）=A[sinx+（-

1

2

sinx+

3

2

cosx）+（-

1

2

sinx-

3

2

cosx）]=0，
所以是平波．
（3）f₁（x）=Asinx，f₂（x）=Asin（x+

2π

n

），f₃（x）=Asin（x+

4π

n

），…，
f_n（x）=Asin（x+

2(n-1)π

n

），这n个波叠加后是平波．

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了归纳推理的常用方法，综合性较强，考查了转化思想，属于中档题．