Question

对满足a≥

1

2

的一切实数a，当x∈[0，1]时，函数f（x）=-a²x²+ax+c（c∈R），均有f（x）≤1成立，则c的取值范围是

c≤

3

4

．

Answer 1

分析：根据二次函数的图象和性质可得，函数的对称轴为x=

1

2a

，结合a≥

1

2

可得0＜

1

2a

≤1，只要函数的最小值小于等于1，即f（

1

2a

）≤1，即可求出结果．

解答：解：∵函数f（x）=-a²x²+ax+c对称轴为x=

1

2a

∵a≥

1

2

，
∴0＜

1

2a

≤1
要使得f（x）在[0，1]上都满足f（x）≤1
只需f（

1

2a

）=-

1

4

+

1

2

+c≤1
解得：c≤

3

4

故答案为：c≤

3

4

点评：本题考查了函数恒成立问题以及二次函数的特点，解题的关键是得出对称轴的范围，求出最值．属于中档题．