Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{71}{8}$，a_n+1=$\frac{7}{8}$a_n+1（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n-8}是等比数列，并求a_n；
（2）设b_n=（n+1）•（a_n-8），若b_n≤b_k对n∈N^*恒成立，求正整数k的值．

Answer 1

分析 （′1）根据数列的递推公式和等比数列的定义即可得到{a_n-8}是以$\frac{7}{8}$为首项，以$\frac{7}{8}$为等比的等比数列，求出通项公式即可，
（2）利用作差法，通过数列的函数特征，即可求出k的值．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{7}{8}$a_n+1，（n∈N^*），
∴a_n+1-8=$\frac{7}{8}$（a_n-8），（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1￢}8}{{a}_{n}-8}$=$\frac{7}{8}$，
∵a₁=$\frac{71}{8}$，
∴a₁-8=$\frac{7}{8}$，
∴{a_n-8}是以$\frac{7}{8}$为首项，以$\frac{7}{8}$为等比的等比数列，
∴a_n-8=$\frac{7}{8}$×（$\frac{7}{8}$）^n-1=（$\frac{7}{8}$）ⁿ，
∴a_n=8+（$\frac{7}{8}$）ⁿ；
（2）∵b_n=（n+1）•（a_n-8），
∴b_n=（n+1）•（$\frac{7}{8}$）ⁿ，
∴b_n-b_n-1=（n+1）•（$\frac{7}{8}$）ⁿ-n•（$\frac{7}{8}$）^n-1=（$\frac{7}{8}$）ⁿ（n+1-$\frac{8}{7}$n）=（$\frac{7}{8}$）ⁿ（1-$\frac{n}{7}$），
当1-$\frac{n}{7}$≥0时，即n≤7，b_n-b_n-1≥0
当1-$\frac{n}{7}$≥0时，即n＞7，b_n-b_n-1＜0
∴当n=7时，b_n值最大，
∵b_n≤b_k对n∈N^*恒成立
∴k=7．

点评 本题考查了数列的递推公式和通项公式的求法以及数列的函数特征，属于中档题．