Question

14．如图所示的几何体中，2CC₁=3AA₁=6，CC₁⊥平面ABCD，且AA₁⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A₁D中点，平面ABE分别与棱C₁D，C₁C交于点F，G．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC₁；
（Ⅱ）求证：A₁D⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角D-EF-B的大小，并求CG的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出CC₁∥AA₁，AD∥BC，从而平面AA₁D∥平面CC₁B，由此能证明AE∥平面CC₁B．
（Ⅱ）法1：推导出AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，AB⊥AD，以AB，AD，AA₁分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁D⊥平面ABE．
法2：推导出AA₁⊥AB，AB⊥AD，从而AB⊥A₁D，再由AE⊥A₁D，能证明A₁D⊥平面ABE．
（Ⅲ）推导出平面EFD⊥平面ABE，从而二面角D-EF-B为90°，设$\overrightarrow{CG}=λ\overrightarrow{C{C_1}}$，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），再由A₁D⊥BG，能求出CG的长．

解答 证明：（Ⅰ）因为CC₁⊥平面ABCD，且AA₁⊥平面ABCD，
所以CC₁∥AA₁，（1分）
因为ABCD是正方形，
所以AD∥BC，（2分）
因为AA₁∩AD=A，CC₁∩BC=C，
所以平面AA₁D∥平面CC₁B．（3分）
因为AE?平面AA₁D，
所以AE∥平面CC₁B．（4分）
（Ⅱ）法1：因为AA₁⊥平面ABCD，
所以AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，（5分）
因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，
以AB，AD，AA₁分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A₁（0，0，2），E（0，1，1），（6分）
$\overrightarrow{D{A_1}}=（0，-2，2）$，$\overrightarrow{AE}=（0，1，1），\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$，（7分）
因为$\overrightarrow{D{A_1}}•\overrightarrow{AE}=0，\overrightarrow{D{A_1}}•\overrightarrow{AB}=0$，
所以$\overrightarrow{D{A_1}}⊥\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{D{A_1}}⊥\overrightarrow{AB}$，（8分）
所以A₁D⊥平面ABE．（9分）
法2：因为AA₁⊥平面ABCD，
所以AA₁⊥AB．（5分）
因为ABCD是正方形，
所以AB⊥AD，
所以AB⊥平面AA₁D，（6分）
所以AB⊥A₁D．（7分）
因为E为棱A₁D中点，且$AA_1^{\;}=AD=2$，
所以AE⊥A₁D，（8分）
所以A₁D⊥平面ABE．（9分）
（Ⅲ）因为A₁D⊥平面ABE，且A₁D?平面EFD，（10分）
所以平面EFD⊥平面ABE．（11分）
因为平面ABE即平面BEF，
所以二面角D-EF-B为90°．（12分）
设$\overrightarrow{CG}=λ\overrightarrow{C{C_1}}$，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），（13分）
因为A₁D⊥平面ABE，BG?平面ABE，
所以A₁D⊥BG，
所以$\overrightarrow{{A_1}D}•\overrightarrow{BG}=（0，2，-2）•（0，2，3λ）=4-6λ=0$，即$λ=\frac{2}{3}$，
所以$CG=\frac{2}{3}C{C_1}=2$．（14分）

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的大小、线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．