题目内容
19．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则当a≥0时，f（a）和eaf（0）（e是自然对数的底数）大小关系为（ ）| A． | f（a）≥eaf（0） | B． | f（a）＞eaf（0） | C． | f（a）≤eaf（0） | D． | f（a）＜eaf（0） |
分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数研究其单调性，注意到已知f'（x）＞f（x），可得g（x）为单调增函数，最后由a＞0，代入函数解析式即可得答案．
解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＞f（x），
∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0
∴函数g（x）为R上的增函数
∵a≥0，∴g（a）≥g（0）
即 $\frac{f（a）}{{e}^{a}}$＞$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，
∴f（a）≥eaf（0），
故选：A．
点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，恰当的构造函数，并能利用导数研究其性质是解决本题的关键．
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53随堂测系列答案
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9．设a=1.70.3，b=0.93.1，c=0.91.7，则a，b，c的大小关系是（ ）
| A． | a＜b＜c | B． | b＜a＜c | C． | b＜c＜a | D． | c＜a＜b |
10．
已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，
下列关于函数f（x）的命题：
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值为2，那么t的最大值为4；
③函数f（x）在[0，2]上是减函数；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a最多有4个零点．
其中正确命题的序号是①③④．
已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，| x | -1 | 0 | 2 | 4 | 5 |
| f（x） | 1 | 2 | 1.5 | 2 | 1 |
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值为2，那么t的最大值为4；
③函数f（x）在[0，2]上是减函数；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a最多有4个零点．
其中正确命题的序号是①③④．
8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．若$A=\frac{π}{4}，B-C=\frac{π}{2}，a=\sqrt{2}$，则△ABC的面积为（ ）
| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\sqrt{2}$ |