Question

7．设△ABC的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知 b+acos C=0，sin A=2sin（A+C）．
（1）求角C的大小；
（2）求$\frac{c}{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知sin A=2sinB，根据正弦定理可知a=2b，则cosC=-$\frac{b}{a}$=-$\frac{1}{2}$，即可求得C；
（2）利用余弦定理求得c=2$\sqrt{2}$b，即可求得$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：（1）sin A=2sin（A+C）=2sin（π-B）=2sinB，
由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴a=2b，
由cosC=-$\frac{b}{a}$=-$\frac{1}{2}$，
由0＜C＜π，则C=$\frac{2π}{3}$，
（2）由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC=4b²+b²+2b²=8b²，则c=2$\sqrt{2}$b，
则$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}b}{2b}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{c}{a}$的值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，特殊角的三角函数值，考查计算能力，属于基础题．