Question

在等差数列{a_n}中，a₃+a₄+a₅=42，a₈=30．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=(

3

)an+2+λ（λ∈R），则是否存在这样的实数λ使得{b_n}为等比数列；
（3）数列{c_n}满足{c_n}=

2n-1，n为奇数 1 2 an-1，n为偶数

，T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_2n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首先，结合{a_n}是一个等差数列，所以a₃+a₄+a₅=3a₄=42，得到a₄=14．然后，可以设数列{a_n}的公差为d，则4d=a₈-a₄=16，得到d=4，从而得到a_n=a₄+（n-4）d=4n-2；
（2）依据b_n+1²=bn•b_n+2，建立等式进行求解即可；
（3）利用裂项分组求和法，进行求解其和．

解答： 解：（1）因为{a_n}是一个等差数列，所以a₃+a₄+a₅=3a₄=42，
∴a₄=14．
设数列{a_n}的公差为d，则4d=a₈-a₄=16，
故d=4，
∴a_n=a₄+（n-4）d=4n-2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=4n-2．
（2）b_n=b_n=(

3

)an+2+λ=9ⁿ+λ，
假设存在这样的λ使得{b_n}为等比数列，则b_n+1²=b_n•b_n+2，
即（9ⁿ⁺¹+λ）²=（9ⁿ+λ）•（9ⁿ⁺²+λ），
整理可得λ=0．即存在λ=0，使得{b_n}为等比数列．…（7分）
（3）∵{c_n}=

2n-1，n为奇数 1 2 an-1，n为偶数

，
∴T_2n=1+（2×2-3）+2²+（2×4-3）+2⁴+…+2^2n-2+（2×2n-3）
=1+2²+2⁴+…+2^2n-2+4（1+2+…+n）-3n
=

1-4n

1-4

+4×

n(n-1)

2

-3n
=

4n-1

3

+2n2-n，
∴T_2n=

4n-1

3

+2n2-n．

点评：本题重点考查了等差数列的概念和性质、数列求和、等比数列的概念和求和等知识，属于中档题．