题目内容
1．在直角坐标系中，圆C1：x2+y2=1经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲线C2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=$\frac{10}{ρ}$．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）在C2上求一点M，是点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．
分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲线C2，可得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}x′\\ y=\frac{1}{2}y′\end{array}\right.$，代入圆C1：x2+y2=1，化简可得曲线C2的直角坐标方程，将直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=$\frac{10}{ρ}$化为：ρcosθ+ρsinθ=10，进而可得直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）将直线x+y-10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件，联立方程求出M点的坐标，进而可得答案．
解答 解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲线C2，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}x′\\ y=\frac{1}{2}y′\end{array}\right.$，代入圆C1：x2+y2=1得：$\frac{x{′}^{2}}{9}+\frac{y{′}^{2}}{4}=1$，
故曲线C2的直角坐标方程为$\frac{x{\;}^{2}}{9}+\frac{y{\;}^{2}}{4}=1$；
直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=$\frac{10}{ρ}$．
即ρcosθ+ρsinθ=10，即x+y-10=0，
（Ⅱ）将直线x+y-10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件，
设过M的直线为x+y+C=0，
则由$\left\{\begin{array}{l}x+y+C=0\\ \frac{x{\;}^{2}}{9}+\frac{y{\;}^{2}}{4}=1\end{array}\right.$得：13x2+18Cx+9C2-36=0，
由△=（18C）2-4×13×（9C2-36）=0得：C=±$\sqrt{13}$，
故x=$\frac{9\sqrt{13}}{13}$，或x=-$\frac{9\sqrt{13}}{13}$，（舍去），
则y=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，
即M点的坐标为（$\frac{9\sqrt{13}}{13}$，$\frac{4\sqrt{13}}{13}$），
则点M到直线l的距离d=$\frac{10-\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$
点评 本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．
53随堂测系列答案| A． | （0，+∞） | B． | （-1，+∞） | C． | （-2，+∞） | D． | （-3，+∞） |
| A． | {2，4，6} | B． | {1，3，5} | C． | {2，4} | D． | {2，5} |
| A． | $\frac{π}{2}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{6}$ | D． | $\frac{π}{4}$ |