Question

已知函数f（x）=2^x-

a

2x

．
（1）若a=1，试用列表法作出f（x）的大致图象；
（2）讨论f（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

考点：函数图象的作法,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）列表，描点，连线即可．
（2）根据奇函数和偶函数的定义，求出a的值即可，
（3）利用函数的单调性的定义，加以证明即可．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=2^x-

1

2x

．
列表：

x	…	-2	-1	0	1	2	…
f（x）	…	- 15 4	-1.5	0	1.5	15 4	…

描点，连线如图所示．
（2）若函数为奇函数，则f（0）=0，
∴f（0）=1-a=0，
解得a=1，
∵f（-x）=2^-x-

a

2-x

=-a2^x+2^-x，
当a=1时，f（-x）=-（2^x-2^-x）=-f（x），
∴函数为奇函数，
若函数为偶函数，则f（-x）=f（x）
∴2^-x-

a

2-x

=2^x-

a

2x

．
∴（1+a）=（1+a）2^2x，
∴1+a=0，
解得a=-1，
当a≠±1时为非奇非偶函数．
（3）设x₁，x₂，∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2x1-a2-x1-2x2+a2-x2=）=（2x1-2x2）+a（2-x2-2x1），
∵x₁＜x₂，则-x₁＞-x₂，函数y=2^x，为增函数，
∴2x1-2x2＜0，2-x2-2x1＜0，
又a＞0，
∴（2x1-2x2）+a（2-x2-2x1）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即函数为增函数．

点评：本题主要考查了函数图象的作法，函数的奇偶性和单调性，属于基础题．