题目内容
20、证明：函数f（x）=x2+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增加的．
分析：结合已知条件，检验函数的的定义域关于原点对称，检验f（-x）=（-x）2+1=f（x），进而可证明f（x）是偶函数，利用函数的单调性的定义，只要证明当任意x1＜x2∈[0，+∞）都有f（x1）＜f（x2）证明函数的单调性
解答：证明：∵f（x）的定义域为R，
∴它的定义域关于原点对称，f（-x）=（-x）2+1=f（x）
所以f（x）是偶函数．
任取x1，x2且x1＜x2，x1与x2∈[0，+∞）则f（x1）-f（x2）=x12+1-（x22+1）=x12-x22=（x1-x2）（x1+x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在[0，+∞）上是增加的．
∴它的定义域关于原点对称，f（-x）=（-x）2+1=f（x）
所以f（x）是偶函数．
任取x1，x2且x1＜x2，x1与x2∈[0，+∞）则f（x1）-f（x2）=x12+1-（x22+1）=x12-x22=（x1-x2）（x1+x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在[0，+∞）上是增加的．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断及函数在区间上的单调性的证明，主要还是定义的基本运用，熟练掌握基础知识、基本方法是解决本题的关键．
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