Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

已知抛物线方程为．

（1）若点在抛物线上，求抛物线的焦点的坐标和准线的方程；

（2）在（1）的条件下，若过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，点在抛物线的准线上，直线、、的斜率分别记为、、，求证：、、成等差数列；

（3）对（2）中的结论加以推广，使得（2）中的结论成为推广后命题的特例，请写出推广命题，并给予证明.

说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.

Answer 1

（本题18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

已知抛物线方程为

（1）若点在抛物线上，求抛物线的焦点的坐标和准线的方程；

（2）在（1）的条件下，若过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，点在抛物线的准线上，直线、、的斜率分别记为、、，求证：、、成等差数列；

（3）对（2）中的结论加以推广，使得（2）中的结论成为推广后命题的特例，请写出推广命题，并结予证明.

说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.

解：

（1）   ∵在抛物线上，  由   得……………2分

∴抛物线的焦点坐标为，          ……………3分

准线的方程为                ……………4分

（2）证明：∵抛物线的方程为，过焦点且倾斜角为的直线的方程为

由可得 

解得点A、B的坐标为，……………6分

∵抛物线的准线方程为，设点M的坐标为，……………7分

则，，，……………8分

由……………9分

知、、成等差数列。               ……………10分

（3）本小题可根考生不同的答题情况给予评分

①推广命题：若抛物线的方程为，过焦点F的直线交抛物线于A、B 两点，M为抛物线准线上的一点，直线、、的斜率分别记为、、，则、、成等差数列。                                       ……………12分

证明：

抛物线的焦点坐标为，当直线平行于轴时，

由（2）知命题成立。                                         ……………13分

设M点坐标为

当直线不平行于轴时，设的方程为，其与抛物线的交点坐标为、，则有，

由  得 ，即        ……………14分

，

，∴，即  、、成等差数列………16分

②推广命题：若抛物线的方程为，过焦点F的直线交抛物线于A、B 两点，M为抛物线准线上的一点，直线、、的斜率分别记为、、，则、、成等差数列。                          ……………13分

证明：抛物线的焦点F的坐标为，准线方程为，设M点坐标为

设与抛物线的交点坐标为、，则有，

（ⅰ）当直线平行于轴时，直线的方程为

此时有 ……………14分

（ⅱ）当直线不平行于轴时，直线的方程可设为

由     得     ……………15分

，

，∴，即  、、成等差数列…18分