Question

3．为了更好地让学生适应高考网上阅卷，某学校针对该校20个班级进行了“汉字与英语书法大赛”（每个班级只有一个指导老师），并调查了各班参加该比赛的学生人数，根据所得数据，分组成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图如图：
（1）如果从参加比赛的学生人数在25人以上（含25人）的班级中随机选取2个指导老师颁发“参与组织奖”，那么至少有一位来自“参与学生人数在[25，30）内的班级”的指导老师获奖的概率是多少？
（2）如果从参加比赛的学生人数在25人以上（含25人）的班级中随机选取3个指导老师颁发“参与组织奖”，设“参与学生人数在[25，30）内的班级”的指导老师获奖人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）根据频率分布直方图的性质可得∴从参加比赛的学生人数在25人以上（含25人）的班级的指导老师共有8人．那么至少有一位来自“参与学生人数在[25，30）内的班级”的指导老师获奖的概率是P=1-$\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{8}^{2}}$．
（2）根据（1）可知：X的取值可能为0，1，2，3．P（X=k）=$\frac{{∁}_{3}^{k}{∁}_{5}^{3-k}}{{∁}_{8}^{3}}$，即可得出．

解答 解：（1）根据频率分布直方图可得：[25，30）对应的频数为20×0.03×5=3，
[30，35）对应的频数为20×0.03×5=3，
[35，40）对应的频数为20×0.02×5=2．
∴从参加比赛的学生人数在25人以上（含25人）的班级的指导老师共有8人．
那么至少有一位来自“参与学生人数在[25，30）内的班级”的指导老师获奖的概率是P=1-$\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{8}^{2}}$=$\frac{9}{14}$．
（2）根据（1）可知：X的取值可能为0，1，2，3．P（X=k）=$\frac{{∁}_{3}^{k}{∁}_{5}^{3-k}}{{∁}_{8}^{3}}$，可得P（X=0）=$\frac{5}{28}$，可得P（X=1）=$\frac{15}{28}$，可得P（X=2）=$\frac{15}{56}$，可得P（X=3）=$\frac{1}{56}$．可得X的分布列：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

∴E（X）=0×$\frac{5}{28}$+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{15}{56}$+3×$\frac{1}{56}$=$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．