Question

19．（1）已知a，b∈（0，+∞），求证：x，y∈R，有$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{b}$≥$\frac{{{{（x+y）}^2}}}{a+b}$；
（2）若0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，求证：（2-a）b，（2-b）c，（2-c）a不能同时大于1．

Answer 1

分析 （1）由基本不等式易得答案，注意取等条件|bx|=|ay|；
（2）假设（2-a）b，（2-b）c（2-c）a同时大于1，推出（2-a）b•（2-b）c•（2-c）a＞1 ①；再由已知条件可推出（2-a）b•（2-b）c•（2-c）a≤1，这与①矛盾，故假设不成立，即可得出结论．

解答 证明：（1）（$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$）（a+b）=x²+$\frac{b{x}^{2}}{a}$+$\frac{a{y}^{2}}{b}$+y²≥x²+2xy+y²=（x+y）²，
当且仅当$\frac{b{x}^{2}}{a}$=$\frac{a{y}^{2}}{b}$，即|bx|=|ay|时取等号，
由于a，b∈（0，+∞），所以有$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{b}$≥$\frac{{{{（x+y）}^2}}}{a+b}$…（6分）
（2）假设结论不成立，即（2-a）b，（2-b）c，（2-c）a同时大于1．
$\left.\begin{array}{l}（2-a）b＞1\\（2-b）c＞1\\（2-c）a＞1\end{array}\right\}⇒（2-a）b•（2-b）c•（2-c）a＞1$，
而（2-a）b•（2-b）c•（2-c）a=（2-a）a•（2-b）b•（2-c）c
≤（$\frac{2-a+a}{2}$）²（$\frac{2-b+b}{2}$）²（$\frac{2-c+c}{2}$）²=1，
这与（2-a）b•（2-b）c•（2-c）a＞1矛盾．
所以假设错误，即（2-a）b，（2-b）c，（2-c）a不能同时大于1．…（12分）

点评 本题主要考查不等式的证明问题，题中涉及到基本不等式的应用以及反证法证明不等式，题目计算量小但有一定的技巧性，而且反证思想在证明题中非常重要，同学们需要注意基本不等式的应用，注意基本不等式运用的条件，以及灵活运用不等式证明的各种方法及技巧．