Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的一个焦点是F（1，0），且离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y₀），求y₀的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆C的半焦距是c．依题意，得 c=1．
因为椭圆C的离心率e=

c

a

=

1

2

，
所以a=2，c=2，b²=a²-c²=3．
故椭圆C的方程为 

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）当MN⊥x轴时，显然y₀=0．
当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由 

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

消去y整理得 （3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为Q（x₃，y₃），
则 x1+x2=

8k2

3+4k2

．
所以 x3=

x1+x2

2

=

4k2

3+4k2

，y3=k(x3-1)=

-3k

3+4k2

．
线段MN的垂直平分线方程为y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)．
在上述方程中令x=0，得y0=

k

3+4k2

=

1

3 k +4k

．
当k＜0时，

3

k

+4k≤-4

3

；当k＞0时，

3

k

+4k≥4

3

．
所以-

3

12

≤y0＜0，或0＜y0≤

3

12

．
综上：y₀的取值范围是[-

3

12

，

3

12

]．