题目内容

求过点（0，2）的直线被椭圆x²+2y²=2所截弦的中点的轨迹方程．

解：设直线方程为y=kx+2，
把它代入x²+2y²=2，
整理得（2k²+1）x²+8kx+6=0．
要使直线和椭圆有两个不同交点，则△＞0，即k＜- $\text{[math]}$ 或k＞ $\text{[math]}$ ．
设直线与椭圆两个交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中点坐标为C（x，y），则
x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
y= $\text{[math]}$ +2= $\text{[math]}$ ．
（k＜- $\text{[math]}$ 或k＞ $\text{[math]}$ ），
从参数方程x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$
消去k得x²+2（y-1）²=2，
且|x|＜ $\text{[math]}$ ，0＜y＜ $\text{[math]}$ ．
分析：设直线方程为y=kx+2，把它代入x²+2y²=2，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，由此入手可以求出所截弦的中点的轨迹方程．
点评：本题考查圆锥曲线的基本知识，解题时要认真审题，仔细解答．

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