Question

13．下列命题中，正确的序号是（2）．
（1）存在x₀＞0，使得x₀＜sinx₀．
（2）若sinα≠$\frac{1}{2}$，则α≠$\frac{π}{6}$．
（3）“lna＞lnb”是“10^a＞10^b”的充要条件．
（4）若函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3．

Answer 1

分析 （1）构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性关系进行判断．
（2）根据三角函数的公式进行判断．
（3）根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
（4）求导函数，利用函数f（x）在x=-1处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论．

解答 解：（1）设f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0，则当x＞0时，函数f（x）为增函数，则f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，
则存在x₀＞0，使得x₀＜sinx₀．错误，故（1）错误，
（2）若sinα≠$\frac{1}{2}$，则α≠2kπ+$\frac{π}{6}$且α≠2kπ+$\frac{5π}{6}$，则α≠$\frac{π}{6}$成立，故（2）正确．
（3）由“lna＞lnb”得a＞b＞0，由“10^a＞10^b”得a＞b，则）“lna＞lnb”是“10^a＞10^b”的充分不必要条件，故（3）错误，
（4）∵函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²
∴f′（x）=3x²+6ax+b，
又∵函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=-1处有极值0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-6a+b=0}\\{-1+3a-b+{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=9}\end{array}\right.$
当$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$时，f′（x）=3x²+6ax+b=3（x+1）²=0，方程有两个相等的实数根，不满足题意；
当$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=9}\end{array}\right.$时，f′（x）=3x²+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有两个不等的实数根，满足题意；
故a=2，b=9，故（4）错误，
故答案为：（2）

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及特称命题，充分条件和必要条件的判断，以及函数的导数和极值的关系，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．