Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=3，a₄+a₅+a₆=27，S_n为数列{a_n}的前n项和
（1）求a_n和S_n；      
（2）若bn=

2

an+1an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的性质化简a₄+a₅+a₆=27，即可求出a₅的值，又a₂和a₅的值，再利用等差数列的性质即可求出公差d的值，进而由a₂和公差d写出通项公式及前n项和即可；
（2）把（1）求出的a_n的通项公式代入到b_n中，化简可得b_n的通项公式，列举出数列{b_n}的各项，抵消后即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）由已知a₄+a₅+a₆=27，可得3a₅=27，
解得a₅=9．（1分）
设等差数列{a_n}的公差为d，则a₅-a₂=3d=6，解得d=2..（2分）
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+（n-2）×2=2n-1，（4分）
故sn=

n(a1+an)

2

=

n(1+2n-1)

2

=n2，
综上，a_n=2n-1，s_n=n²（7分）
（2）把a_n=2n-1代入得bn=

2

an+1an

=

2

(2n+1)(2n-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…（

1

2n-1

-

1

2n+1

）=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，是一道中档题．