Question

如图，已知α∥β，异面直线AB、CD和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
求证：(1)E、F、G、H共面；
(2)平面EFGH∥平面α。

Answer 1

证明：(1)∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH∥BD且EH=BD，
同理，FG∥BD且FG=BD，
∴FG∥EH且FG=EH，
∴四边形EFGH是平行四边形，即E、F、G、H共面．
(2)平面ABD和平面α有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD′，
∵α∥β，
∴AD′∥BD，
又∵BD∥EH，
∴EH∥BD∥AD′，
∴EH∥平面α，同理，EF∥平面α，
又EH∩EF=E，EH平面EFGH，EF平面EFGH，
∴平面EFGH∥平面α。