Question

9．已知$cos（{α+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{3}$，$α∈（{0\;，\;\;\frac{π}{2}}）$，求sinα，$sin（{2α+\frac{5π}{6}}）$．

Answer 1

分析 根据同角三角函数关系式和二倍角公式求解即可．

解答 解：∵$α∈（{0\;，\;\;\frac{π}{2}}）$
∴$α+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{2}{3}π}）$，
又∵$cos（{α+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{3}$，
∴$sin（{α+\frac{π}{6}}）=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
∴$sinα=sin（{α+\frac{π}{6}-\frac{π}{6}}）$
⇒$sinα=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$
⇒$sinα=\frac{{2\sqrt{6}-1}}{6}$
$sin（{2α+\frac{5π}{6}}）=sin（{2α+\frac{π}{3}+\frac{π}{2}}）$
⇒$sin（{2α+\frac{5π}{6}}）=cos（{2α+\frac{π}{3}}）$
⇒$sin（{2α+\frac{5π}{6}}）=2{cos^2}（{α+\frac{π}{6}}）-1=\frac{2}{9}-1=-\frac{7}{9}$

点评 本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式的化简和的应用，属于基本知识的考查．