Question

设F为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点，过椭圆中心作一直线与椭圆交于P，Q两点，当三角形PFQ的面积最大时，

PF

•

QF

的值为

-2

．

Answer 1

分析：椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点F（1，0），要求△PQF的面积的最大值，需要先表示该三角形的面积，故需要设直线PQ的方程，分类讨论①当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx（k≠0），代入椭圆方程，根据方程及弦长公式可求PQ=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，再求原点到AB的距离d=|

k

1+k2

|，代入面积公式S=

1

2

 d×PQ可求，②当直线的斜率不存在时，P（0，

3

），Q（0，-

3

），S=

1

2

×2

3

×1=

3

，比较确定取得面积的最大值的点P，Q，代入

PF

•

QF

可求

解答：解：椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点F（1，0）
①当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx（k≠0）
代入椭圆方程可得，x2=

12

3+4k2

PQ=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

48(1+k2) 3+4k2

原点到AB的距离d=|

k

1+k2

|
S=

1

2

 d×PQ=|

1

2

×

k

1+k2

× 

48(1+k2) 3+4k2

|=|

2 3 k

3+4k2

|=

2 3

4+ 3 k2

＜

3

②当直线的斜率不存在时，P（0，

3

），Q（0，-

3

），S=

1

2

×2

3

×1=

3

Smax=

3

，此时

PF

=(1，-

3

)，

QF

=(1，

3

)
∴

PF

•

QF

=1×1-

3

×

3

=-2
故答案为：-2

点评：本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，直线与曲线相交的方程的根与系数关系的应用，体现了分类讨论思想的应用．