Question

（本题满分12分）已知函数.

（Ⅰ）若函数在区间上存在极值(＞0)，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果当，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）求证：＞.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）＜＜1.（Ⅱ）.（Ⅲ）见解析.

【解析】（I）本小题可转化为上有实数根.

（2）恒成立，然后构造函数利用导数最g(x)的最小值即可.

(III) 解本题的关键是由（Ⅱ）

即＞

令＞,然后再根据不等式的性质叠加即可得证.

（Ⅰ）定义域

，

当0＜＜1，＞0，，

＞1，＜0，

处取极大值，则,

解得＜＜1.----------------------------4分

（Ⅱ）恒成立，

令

记

单增，

1＞0，

＞0恒成立，

＞0，即在[1，+）.

.-------------8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）

即＞

令＞

＞，

＞，

＞.

    ＞＞

＞ 

＞.---------------------12分