Question

19．已知函数f（x）定义域为[0，+∞），当x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，当x∈[n，n+1]时，f（x）=$\frac{f（x-n）}{{2}^{n}}$，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b有且仅有2016个交点，则b的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （$\frac{1}{{2}^{1007}}$，$\frac{1}{{2}^{1006}}$）
• C． （$\frac{1}{{2}^{2017}}$，$\frac{1}{{2}^{2016}}$）
• D． （$\frac{1}{{2}^{1008}}$，$\frac{1}{{2}^{1007}}$）

Answer 1

分析 根据题意，画出函数f（x）的图象，结合图象总结出函数f（x）的图象与直线y=b的交点情况，从而得出b的取值范围．

解答 解：根据题意，x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，
x∈[n，n+1]时，f（x）=$\frac{f（x-n）}{{2}^{n}}$，其中n∈N，
∴f（n）=sinnπ=0，
f（$\frac{1}{2}$）=sin$\frac{π}{2}$=1，
f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{f（\frac{3}{2}-1）}{2}$=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$，
f（$\frac{5}{2}$）=$\frac{f（\frac{5}{2}-2）}{{2}^{2}}$=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{4}$=$\frac{1}{4}$，…；
画出图形如图所示；
当b∈（$\frac{1}{2}$，1）时，函数f（x）的图象与直线y=b有2个交点；　　
当b∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）时，函数f（x）的图象与直线y=b有4个交点；　　
当b∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$）时，函数f（x）的图象与直线y=b有6个交点；…；
当b∈（$\frac{1}{{2}^{1008}}$，$\frac{1}{{2}^{1007}}$）时，函数f（x）的图象与直线y=b有2016个交点．
故选：D．

点评 本题考查了函数的定义与性质以及函数图象的应用问题，是较难的题目．