Question

关于x的不等式

1

x

+

4x

a

≥4在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A、（0，

  4

  3

  ]
• B、（1，

  4

  3

  ]
• C、[1，

  4

  3

  ]
• D、[

  16

  7

  ，

  4

  3

  ]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由

1

x

+

4x

a

≥4，分离变量a得

1

a

≥-

1

4

(

1

x

-2)2+1，由x∈[1，2]求得

1

x

∈[

1

2

，1]，则-

1

4

(

1

x

-2)2+1∈[

7

16

，

3

4

]．∴

1

a

≥

3

4

，由此求得实数a的取值范围．

解答： 解：由

1

x

+

4x

a

≥4，得

4x

a

≥4-

1

x

=

4x-1

x

，即

1

a

≥

4x-1

4x2

=-

1

4

(

1

x

)2+

1

x

=-

1

4

(

1

x

-2)2+1，
∵x∈[1，2]，∴

1

x

∈[

1

2

，1]，则-

1

4

(

1

x

-2)2+1∈[

7

16

，

3

4

]．
∴

1

a

≥

3

4

，则0＜a≤

4

3

．
∴实数a的取值范围为（0，

4

3

]．
故选：A．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．