题目内容
已知函数f（x）=3x-b（2≤x≤4）的图象过点（2，1），则F（x）=[f-1（x）]2-f-1（x2）的值域为
[2，5]
[2，5]
．分析：由函数f（x）=3x-b（2≤x≤4）的图象过点（2，1），可求得b值，从而得到f（x）的解析式，根据f（x）的值域可得f-1（x）的定义域，进而可求得F（x）的定义域，F（x）=[f-1（x）]2-f-1（x2）=(log3x+2)2-（log3x2+2）=(log3x+1)2+1，由log3x∈[0，1]，即可求得F（x）的值域．
解答：解：由函数f（x）=3x-b（2≤x≤4）的图象过点（2，1），得32-b=1，解得b=2．
则f（x）=3x-2，f-1（x）=log3x+2，
F（x）=[f-1（x）]2-f-1（x2）=(log3x+2)2-（log3x2+2）=(log3x+1)2+1，
由2≤x≤4得，f（x）∈[1，9]．所以f-1（x）的定义域为[1，9]，
由
，解得1≤x≤3，
所以F（x）的定义域为[1，3]．
则log3x∈[0，1]，1≤(log3x+1)2≤4，2≤F（x）≤5．
所以函数F（x）的值域为[2，5]．
故答案为：[2，5]．
则f（x）=3x-2，f-1（x）=log3x+2，
F（x）=[f-1（x）]2-f-1（x2）=(log3x+2)2-（log3x2+2）=(log3x+1)2+1，
由2≤x≤4得，f（x）∈[1，9]．所以f-1（x）的定义域为[1，9]，
由
|
所以F（x）的定义域为[1，3]．
则log3x∈[0，1]，1≤(log3x+1)2≤4，2≤F（x）≤5．
所以函数F（x）的值域为[2，5]．
故答案为：[2，5]．
点评：本题考查函数解析式的求解及函数的值域问题，考查学生分析解决问题的能力．
练习册系列答案
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