Question

5．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AC=AA₁，∠CAB=90°，M、N分别是AA₁和AC的中点．
（1）求证：MN⊥BC₁
（2）求直线MN与平面BCC₁B₁所成角．

Answer 1

分析 （1）连接A₁C、AC₁，证明A₁C⊥平面ABC₁，利用A₁C∥MN，即可证明MN⊥BC₁
（2）取C₁B₁的中点D，连接CD，求出∠A₁CD=30°，即可求直线MN与平面BCC₁B₁所成角．

解答 （1）证明：连接A₁C、AC₁
在平面AA₁C₁C内，∵AA₁⊥平面ABC，AA₁=AC
∴A₁C⊥AC₁
又∵∠CAB=90°即AB⊥AC、AA₁⊥AB
且 AA₁∩AC=A∴AB⊥平面AA₁C₁C
又∵A₁C在平面AA₁C₁C内
∴A₁C⊥AB
又∵AB∩AC₁=A，∴A₁C⊥平面ABC₁
又∵BC₁在平面ABC₁内
∴A₁C⊥BC₁
又∵M，N分别是AA₁和AC的中点．∴A₁C∥MN，∴MN⊥BC₁．
（2）解：取C₁B₁的中点D，连接CD
∵A₁B₁=A₁C₁，∴A₁D⊥B₁C₁
又∵CC₁∥AA₁，AA₁⊥平面ABC
∴CC₁⊥平面ABC，即CC₁平面A₁B₁C₁，
又∵A₁D在平面A₁B₁C₁内
∴A₁D⊥CC₁且CC₁∩C₁B₁=C，CD在平面CBB₁C₁内，∴A₁D⊥CD
∴cos∠A₁CD=$\frac{CD}{{{A_1}C}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴∠A₁CD=30°，
又∵MN∥A₁C
即MN与平面BCC₁B₁所成角为30°

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．