题目内容

已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，点M（4，1）是椭圆上一定点，直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求△OAB面积的最大值．（点O为坐标原点）

解：（1）∵椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，
∴a=2k，c= $\text{[math]}$ ，b²=k²，
∵椭圆过点M（4，1），
∴ $\text{[math]}$ ，解得k²=5，
故椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）将y=x+m代入 $\text{[math]}$ ，并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，
△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，
解得：-5＜m＜5．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，k=1，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∵O到直线AB的距离d= $\text{[math]}$ ，
∴△OAB面积 $\text{[math]}$ ≤5．
当且仅当m=±5时，取最大值．
分析：（1）由椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，知a=2k，c= $\text{[math]}$ ，b²=k²，由椭圆过点M（4，1），解得k²=5，由此能求出椭圆方程．
（2）将y=x+m代入 $\text{[math]}$ ，并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，由△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，能求出m的取值范围．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，k=1， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，O到直线AB的距离d= $\text{[math]}$ ，由此能求出△OAB面积的最大值．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．