Question

16．已知6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0，α∈（${\frac{π}{2}$，π），求：
①tanα的值；
②sin（2α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 ①利用同角三角函数的基本关系、α的范围，求得tanα的值．
②先求得sin2α、cos2α的值，再利用两角和的正弦公式求得sin（2α+$\frac{π}{3}$）=sin2αcos$\frac{π}{3}$+cos2αsin$\frac{π}{3}$ 的值．

解答 解：①∵6sin²α+sinαcosα-2cos²α=$\frac{{6sin}^{2}α+sinαcosα-{2cos}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{{6tan}^{2}α+tanα-2}{{tan}^{2}α+1}$=0，
α∈（${\frac{π}{2}$，π），
∴tanα=-$\frac{2}{3}$，或tanα=$\frac{1}{2}$（舍去）．
②∵sin2α=$\frac{2tanα}{{1+tan}^{2}α}$=-$\frac{\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{9}}$=-$\frac{12}{13}$，cos2α=$\frac{{1-tan}^{2}α}{1{+tan}^{2}α}$=$\frac{1-\frac{4}{9}}{1+\frac{4}{9}}$=$\frac{5}{13}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=sin2αcos$\frac{π}{3}$+cos2αsin$\frac{π}{3}$=-$\frac{12}{13}•\frac{1}{2}$+$\frac{5}{13}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．